Cómo discutir un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro.

Sea el sistema de ecuaciones 

a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible

b) Resuelve el sistema en el caso m = –1.

El proceso es siempre idéntico.

a) Escribimos la matriz ampliada . Ahora estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes. Para ello tenemos en cuenta que ya hay un menor de orden 2 distinto de cero . Este paso incluso nos lo podíamos haber ahorrado englobándolo en el siguiente.

Ahora hallamos el determinante de la matriz de los coeficientes:  y vemos que, independientemente del valor de m, la matriz de los coeficientes siempre tiene de rango 2.

A continuación hallamos el rango de la matriz ampliada. Para ello tomamos las filas y columnas en donde estaba comprendido el menor de orden 2 distinto de cero y lo ampliamos con la otra fila y la columna de los términos independientes. Así tenemos:

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Si igualamos a cero, ese determinante se anulará cuando –m² – m = 0, es decir, cuando –m(m + 1) = 0 que es lo mismo que decir que cuando m = 0 ó m = –1. Por lo tanto, si m fuese distinto de 0 y de –1, el rango de la matriz ampliada sería 3 y el sistema sería incompatible, y sólo será compatible si m = 0 ó m = –1.

b) Ahora nos piden resolver el sistema que ya sabemos que es compatible indeterminado. En concreto podemos ver que la tercera ecuación es la misma que la segunda cambiada de signo.

Para resolver, y como el rango del sistema es 2, basta elegir dos ecuaciones que sean independientes y despejar dos cualesquiera de las incógnitas en función de la tercera.

Elegimos las dos primeras ecuaciones. De la primera sacamos que y = –x. Si eso lo sustituimos en la segunda nos queda x + x + z = 1, de donde despejando sería z = 1 – 2x.

La solución sería por tanto los infinitos valores x, y, z que cumplen y=-x; z=1-2x.

A veces se suele utilizar un parámetro y entonces la solución sería , donde el último símbolo raro significa para todo, es decir, nos dice que para cualquier valor que sustituyamos en t nos da una solución del sistema.